汽车还是山羊
将近20年前的1992年，美国《检阅》杂志的“玛丽莲”专栏上，刊登了一道有趣的数学游戏题，结果引来了从小学生到研究生的无数人的参与，在美国轰动一时。在给编辑玛丽莲小姐的1万多封来信中，竟有1千多封是具有博士头衔的读者写的。
这道题目是这样的：
有三扇可供选择的门，其中一扇后面是一辆汽车，另外那两扇后面都是一只山羊。
假设人们都喜欢汽车。游戏主持人让你先随意挑选一扇门，比如说你选了1号门，这时主持人打开了另外一扇门（比如说是2号门），里面是一只山羊。
现在主持人给你一次新的机会：“为了有较大的可能性得到汽车，你可以换选剩下的那扇门（3号门），当然也可以坚持原先的1号门。”这时你会怎么选择？
编辑玛丽莲小姐公布的答案是：应该换选一扇门！也就是说，开始你选了1号门，如果主持人打开了里面是山羊的2号门的话，你应该换3号门，而如果主持人打开了里面是山羊的3号门的话，你应该换2号门。
总而言之，你应该换选一扇门。
答案一公布，读者们、特别是那些具有博士头衔的人，纷纷来信表示不同意见。他们说，这真是一个令人难以置信的答案。
他们认为，主持人既然把没有汽车的那扇门打开了，那么剩下的两扇门后面，是汽车还是山羊的可能性各占一半，概率是相同的，所以不用换。他有1/2的概率得到汽车。
读到这里，我要请你停下来做一个思考，你觉得是编辑玛丽莲小姐说的对呢，还是那些博士们的意见正确？概率论专家会告诉你，换选以后得到汽车的概率更大。
其逻辑是这样的：假设你第一次选中的是没有汽车的门（这有2/3的概率），当主持人又打开了一扇没有汽车的门，这时你换选，就必定能得到汽车了。
而假设你第一次选中的是里面有汽车的门（这有1/3的概率），当主持人又打开了一扇门时，如果你换选，就必定得不到汽车。也就是说，换选，得汽车的概率是2/3，而不换，得汽车的概率只有1/3。你想明白了吗？
精通概率论的数学家决定换选的答案似乎是正确的。但你若是一个经济学家，你的思想不会就此止步。作为一个真正的经济学家，一般来说，他的心灵空间更为广阔，他的心路历程更为漫长，他的思考要比普通人更为深入。
我们知道，司马懿围攻诸葛亮的空城时，他不知道里面是否有埋伏，但他知道诸葛亮是谨慎的，而诸葛亮之所以敢用空城计来对付司马懿，是因为他知道司马懿知道自己从来是谨慎的。所以，信息的掌握和利用至关重要。
在这个故事里，我们还很难说，玛丽莲小姐和那些博士们究竟谁对谁错，因为人们都忽略了一个重要的信息，即游戏主持人在打开另一扇门之前，他是知道还是不知道里面藏的是什么？
这个信息非常重要，它是我们作出正确判断的一个重要约束条件。如果他事先知道里面是什么，那么他打开里面是山羊的那扇门的动作包含着很有价值的信息，这样的话，概率论专家也就是玛丽莲小姐的答案才是正确的。
但如果他自己事先并不知道里面是什么的话，那么他随机打开一扇门、里面恰好是一只山羊，这样的话，博士们的意见却是正确的。
因为这时未打开的两扇门中，击中汽车的概率是相等的，都从原先的1/3变成了1/2。并且考虑到换选而不中的后悔痛苦要甚于不换选而不中，所以还是不换选的好。
当然，一般来说，游戏主持人是事先知道里面是什么的，因为这才能使考察智商的游戏进行下去，否则就有使游戏夭折的可能。只有当我们明白这一点以后，我们才可以说玛丽莲小姐说的是对的。
一个猜数字的游戏
20多年前的1987年的某一天，美国《金融时报》上，刊登了一则奇怪的竞猜广告，邀请人们参加。每个参与者必须在0到100之间选一个整数寄过去，谁的数字最接近所有数字之和的平均数的2/3，谁就是赢家，可以赢得价值超过1万美元的奖品——协和航空从伦敦到纽约的头等舱的往返机票。
这个游戏是芝加哥大学的理查德·H·泰勒教授设计的。如果你要参加这个竞猜，你会选一个什么数字呢？（假设参与者众多，因此你个人的数字对平均数的影响可以忽略不计。但若参与者较少，你的数字会对平均数有较大影响，也需将它考虑在内。）
因为我不知道别人会怎么选，只好先假设大家都会在0到100之间随机选，这样的话，所有数的平均数应该是50，因此我当然应该选33，因为33最接近50的2/3。这些人的思考只“走了第1步”。
马上有人会想到，别人也会同样这么想。如果别人也都这么想、大家都选33的话，这时的平均数就是33，我就应该选33的2/3、即22。这些人的思考算是“走了第2步”。
但如果有人再进一步想，大家都选22的话，我就应该选22的2/3、大约是15。这些人的思考是“走了第3步”。
接着，选15的2/3、即10的人，这些人的思考“走了第4步”。 选10的2/3、即7的人是“走了第5步”。选7的2/3、即5的人是“走了第6步”。选5的2/3、即3的人是“走了第7步”。选3的2/3、即2的人是“走了第8步”。选2的2/3、即1的人是“走了第9步”。
依此类推，随着你的思考的深入，这个数字越来越小。如果——我说的是如果——如果每个人都是如此这般的理性，都能将逻辑思维进行到底的话，最后这个数字就会停留在1上。因为1的2/3最接近1。每个人都选1的话，每个人都猜对了。
作为精通博弈论的数学家，你选1的答案是正确的。但你若是一个经济学家，你的思想不会就此止步。作为一个真正的经济学家，一个最重要的、对世界的基本认识是，人与人是不一样的。
“青菜萝卜，各人各爱”，每个人的偏好不同，每个人逻辑思维的理性（或曰愚蠢）程度也是不同的，我们不能认为所有的人都一样的聪明或愚笨。
我们把抱有应该选50的2/3、即33这种想法、并做这样选择的人称为逻辑思维“停在第1步的人”；把选33的2/3、即22的人称为逻辑思维“停在第2步的人”；把选22的2/3、即15的人称为逻辑思维“停在第3步的人”；把选15的2/3、即10的人称为逻辑思维“停在第4步的人”。
依此类推，他们的理性程度逐步加深，也即愚蠢程度逐步减弱。
然后我们需要对应征答案的这群人做一个大致的判断，他们中间不同理性（或曰愚蠢）程度的人各占多大的比重。然后把这个比重作为权重，加入到平均数的计算中去。最后再以这个平均数的2/3，作为自己的选择。
很多经济分析师都在做着这样的技术经济分析，但你以为这就一定正确了吗？如果人们都读到我的这篇文章，他们也都会按照这种方法进行这么算计。这时候你与他们的区别就在于你们各自对应征人群不同理性（或曰愚蠢）程度的判断的正确性了。
有人说，“秀才遇到兵，有理说不清”，这除了别的问题外，首先可能就是你对对方的逻辑思维停留阶段的判断有误。其次是要知道，在一对一的博弈中，你并不需要做出超越对方很多“步”的对策，你只须超越对方一“步”就够了，多了反而纠缠不清。
排队打水的故事
上个世纪70年代末期，我们国家刚刚从文化革命的蒙昧黑暗中走出，迎来了理性的曙光，那时候举行的首届华罗庚数学竞赛，极大地吸引着热爱科学和智慧的人们。
当时我正是求知欲望十分强盛的青年时代，对此自然十分关注。记得其中有这样一道题目： 若干人各自提着水桶在同一个水龙头前排队打水，每个人的水桶有大有小，问，他们应该如何排队，才能使总的排队时间最少。
这是一个求最优化的题目。答案很简单。用数学可以证明，只要让这些人按照他们水桶的大小排队，水桶小的排前面，水桶大的排后面，这样的结果能使总的排队时间最少。
比如，A的水桶需3分钟灌满，B的水桶需2分钟灌满，C的水桶需1分钟灌满，如果按照这个顺序，A先来，他花费3分钟，B花费3+2=5分钟，C花费3+2+1=6分钟，总共需要14分钟。如果我们把顺序倒过来，C先来，他花费1分钟，B花费1+2=3分钟，A花费1+2+3=6分钟，总共只需要10分钟， 比前面那种排法节省了4分钟。
作为精通运筹学的数学家，他的高屋建瓴、统筹安排的计算无疑是正确的。但你若是一个经济学家，你的思想也不会就此止步。
作为一个真正的经济学家，是承认每个人的禀赋差异、并在此基础上充分尊重每个人的利益的。
因为经济学以个人为本位，只有每个个人，才能感知自己独特的效用、才会考量自己独特的成本，才可以算计自己独特的利益。
每个人对打水的渴望程度不同，他们来到水龙头前的时间迟早不同，一般我们可以推断，先来的人比后来的人对水有更大的效用渴求，先来的人比后来的人也付出了更多的精力成本，同样的时间在不同的人那里有不同的价值。
根据先来后到的原则，先来的人当然要先打，后来的人就得排在后面后打，不能越位，这是公平，也是秩序，否则就会乱套。
而且，我们仔细辨析A、B、C的损益可以发现，改变排序以后，A多花了3分钟，B少花了2分钟，C 少花了5分钟，因此，整体上节省4分钟的有益的改革让不同的人承担了不同的损益。如果说C很乐意，B也乐意，那么A一定是不乐意的。
在人人平等的前提下，谁也不能强求别人为自己做牺牲。
当然，在现实生活中，假如某种变革可以使受益者的收益大于受损者的损失，那么总的利益还是增大了。这种变革在经济学中叫“卡尔多-希克斯改进”。
如果存在着这种“卡尔多-希克斯改进”的机会的话，只要使其中的利益受损者得到足够的补偿，就可以在不损害他人利益的前提下创造出新的利益了。
那么怎么补偿呢？经济学家确实是聪明绝顶的。他们早已想出了很好的办法来实现这种效率的提高。这个办法简单地说就是，自由交易！
C 和B可以拿出一定的好处给予A，换得他的同意。至于这好处是什么？这好处该是多少？任由他们双方协商。如果交易费用不高，他们终能达成共赢的结果。
自由交易能够达到皆大欢喜，哈哈，看来经济学不仅是聪明人的开心果，经济学还是我们大家每一个人的幸福果。
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